Turbo-aspect.ru

Неофициальный портал

Метки: Координаты цветности, координаты широта долгота, координаты окружности.

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. географические координаты.

В астрономии координаты — величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение.

Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом. Систему небесных координат задают большим кругом небесной сферы (или его полюсом, отстоящим на 90° от любой точки этого круга) с указанием на нём начальной точки отсчёта одной из координат. В зависимости от выбора этого круга системы небесных координат называлась горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Содержание

Список наиболее распространённых систем координат

Основные системы

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты

Расположение точки P на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел :

  •  — расстояние от точки P до оси y с учетом знака
  •  — расстояние от точки P до оси x с учетом знака

В пространстве же необходимо уже 3 координаты :

  •  — расстояние от точки P до плоскости yz
  •  — расстояние от точки P до плоскости xz
  •  — расстояние от точки P до плоскости xy

Полярные координаты

Полярные координаты.

В полярной системе координат положение точки определяется расстояние до центра координат и углом радиус-вектора с осью Ox.

Термин «полярные координаты» используется только на плоскости, в пространстве применяются цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты.

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем . В терминах декартовой системы координат,

  • (радиус) — расстояние от оси z к точке P,
  • (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость
  • (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.
Примечание: в литературе можно встретить пометку z для h; это не принципиально, но нужно следить, какие отметки применяются.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение θ теряет смысл, если r = 0.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение , тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = c

Сферические координаты

Сферические координаты.

Сферические координаты — трехмерный аналог полярных

Обозначения, принятые в Америке

В сферической системе координат, расположение точки P определяется тремя компонентами: . В терминах декартовой системы координат,

  • (радиус) — это расстояние от точки Р до полюса,
  • (широта или полярный угол) — угол между z-осью и прямой, проведённой из полюса до точки P
  • (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой» x-осью и проекцией прямой, проведённой из полюса до точки P на xy-плоскость.
Примечание: в литературе можно встретить пометку φ или θ, а также r для ρ;

Сферическая система координат также имеет недостаток: φ теряет смысл если ρ = 0, также и θ теряет смысл, если ρ = 0 или φ = 0 или φ = 180°.

Для построения точки по её сферическими координатами, нужно: от полюса отложить отрезок, равный ρ вдоль положительной z-оси, вернуть его на угол φ вокруг оси y в направлении положительной x-оси, и вернуть на угол θ вокруг z-оси в направлении положительной y-оси.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных вокруг точки. Так, уравнение сферы в декартовых координатах выглядит как , тогда как в сферических становится намного проще: .

Европейские обозначения

В Европе принято использовать другие обозначения. Положение точки задаётся числами: , Где r — расстояние от точки до начала координат,  — полярный угол, который изменяется в пределах от 0 до π,  — Азимутальный угол, который изменяется в пределах от 0 до 2π. То есть, в европейской системе, которая применяется также и в России, обозначения для углов переставлены по сравнению с американской.

Переход из одной системы координат в другую

Декартовы и полярные

\theta
= \arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y

где u0 — функция Хевисайда с , а sgn — функция signum . Здесь функции u0 и sgn используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (y, x), которая находит правильный θ в необходимом квадранте, определённом x и y.

Декартовы и цилиндрические

\theta
=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta&-r\sin\theta&0\\
\sin\theta&r\cos\theta&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\
0&0&1
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Декартовы и сферические

Уравнения для американских обозначений

{\theta}
=\arctan\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\
\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{x}{\rho}&\frac{y}{\rho}&\frac{z}{\rho}\\
\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Цилиндрические и сферические

{\phi}
=\arctan\frac{h}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} h

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\sin\phi&\rho\cos\phi&0\\
0&0&1\\
\cos\phi&-\rho\sin\phi&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}&0&\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\
\frac{-h}{r^2+h^2}&0&\frac{r}{r^2+h^2}\\
0&1&0
\end{vmatrix}\cdot
\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

См. также

Литература

  • Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973.

Ссылки

  • Факультативное занятие по математике на тему: «Разные системы координат»

Tags: Координаты цветности, координаты широта долгота, координаты окружности.