Turbo-aspect.ru

Неофициальный портал

Метки: Сферические координаты для чайников, сферические координаты построить график, сферические координаты в пространстве презентация, сферические координаты в двойном интеграле, сферические координаты 8 0.

Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Содержание

Определения

Три координаты определены как:

  •  — расстояние от начала координат до заданной точки .
  •  — угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .
  •  — угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (в Америке углы и меняются ролями[источник не указан 221 день]).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла , используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный  — . Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой . В этом случае он будет изменяться в пределах .

Тогда углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при , (уже при или ).

Переход к другим системам координат

  • Декартова система координат
    • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:
      \begin{cases}
x=r\sin\theta\cos\varphi, \\
y=r\sin\theta\sin\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Обратно, от декартовых к сферическим:
      \begin{cases}
r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\
\theta=\arccos\left({\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}\right)=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}}\right), \\
\varphi=\mathrm{arctg}\left({\dfrac{y}{x}}\right).
\end{cases}
      • (здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ).
    • Якобиан преобразования от декартовых к сферическим:
  • Цилиндрическая система координат
    • Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:
      \begin{cases}
\rho=r\sin\theta, \\
\varphi=\varphi, \\
z=r\cos\theta.
\end{cases}
    • Обратно от цилиндрических к сферическим:
      \begin{cases}
r=\sqrt{\rho^2+z^2}, \\
\theta=\mathrm{arctg}\left(\dfrac{\rho}{z}\right), \\
\varphi=\varphi.
\end{cases}
    • Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

Дифференциальные характеристики

Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g_{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0\\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta
\end{pmatrix},\quad
g^{ij}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\ 0 & \dfrac{1}{r^2} & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}
\end{pmatrix}
  • Квадрат дифференциала длины дуги:

Остальные равны нулю.

См. также

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Tags: Сферические координаты для чайников, сферические координаты построить график, сферические координаты в пространстве презентация, сферические координаты в двойном интеграле, сферические координаты 8 0.